جا(2س) = (2ظاس)/{1+(ظاس)^2} جتا (٢ س)= جتا² (س) – جا² (س)= ٢ جتا ²(س) -1 = 1-2 جا ²(س)= (1- ظا²(س)) /(1+ ظا² (س)). جتا(2س)=(جتاس)^2 - (جاس)^2 جتا(2س)=2×(جتاس)^2 -1 جتا(2س)= 1 - 2 ×(جاس)^2 جتا(2س)={1-(ظاس)^2}/{1+(ظاس)^2} ظا (٢س)=٢ ظا (س) / (1- ظا² (س)). ظا(2س)= 2×ظاس/{1-(ظاس)^2} (جتاس)^2 = (1+جتا2س)/2 (جاس)^2 = (1- جتا2س)/2 (ظاس)^2= (1-جتا2س)/(1+جتا2س) متطابقات شهيرة في قوانين ضعف الزاوية (جا ب)^2- (جا جـ)^2 = جا(ب+جـ) × جا(ب-جـ) (جتاب)^2+(جتا جـ)^2=جتا(ب+جـ)×جتا(ب-جـ)+1
احسب جتا(2س) إذا كان جا(س)=3 /5، باستخدام قانون ضعف الزاوية جتا(2س)=1-2جا 2 (س)=1-2(5/3) 2 =1-2(9/ 25)= 1-(18/ 25)=7/ 25 المثال الثاني: يوضح المثال الآتي طريقة إيجاد كل القيم الممكنة للزوايا التي ينطبق عليها 2جتا(س)+جا(2س)=0. السؤال: احسب جميع القيم الممكنة للزاوية س، إذا كان 2جتا(س)+جا(2س)=0، حيث 360≥س≥0 باستبدال جا(2س) بالقيمة 2جا(س) جتا(س) ينتج ما يأتي: 2جتا(س)+2جا(س) جتا(س) باستخراج العامل المشترك 2جتا(س) يكون الناتج 2جتا(س) (1+جا(س))=0 باستخدام قانون الضرب بالصفر، وهو إذا كان أ،ب عددين وكان أ×ب=0 فإنّ أ=0 أو ب=0، أو كلا العددين أ،ب يساويان صفراً، ومنه ينتج أنّ 2جتا(س)=0، 1+جا(س)=0، ومنه جتا(س)=0، وجا(س)=-1 تحديد الزاويا ذات جيب التمام المساوي للصفر، وهي س=90، 270 درجة، والزوايا ذات الجيب المساوي ل -1 وهي 270 درجة، وعليه يكون الحل س=90 درجة، 270 درجة
قانون ضعف الزاوية يرتبط مفهوم قانون ضعف الزاوية (بالإنجليزية: Double Angle) بالاقترانات المثلثية الثلاث، وهي الجيب، وجيب التمام، والظل، والتي هي عبارة عن علاقات تربط بين أضلاع المثلث قائم الزاوية بالنسبة لزواياه، ويجدر بالذكر أن ضعف الزاوية يعني ضرب قياس الزاوية بالعدد 2، أو مضاعفته، ولقانون ضعف الزاوية أشكال عدة هي: جا (2س)=2 جا(س) جتا(س)=2 ظا(س)/ (1+ظا²(س)). جتا (2س)=جتا²(س)-جا²(س)=2 جتا²(س)-1=1-2 جا²(س)=(1-ظا²(س))/(1+ظا²(س)). ظا (2س)=2 ظا(س)/ (1-ظا²(س)). أمثلة على قانون ضعف الزاوية أمثلة تطبيقية على قانون ضعف الزاوية المثال الأول: إذا كانت س زاوية في الربع الثالث، وكانت قيمة جا(س)=-3/5، جد قيمة جا(2س)،جتا(2س)، ظا(2س). الحل: من خلال تمثيل الأرقام باستخدام المثلث قائم الزاوية وتطبيق قانون فيثاغورس، ومعرفة حقيقة أن جيب التمام سالب القيمة في الربع الثالث، وأن الظل موجب القيمة ينتج أن جتا(س)=-4/5، ظا(س)=3/4. بتطبيق قانون جا(2س)=2جا(س)جتا(س)=2×-3/5×-4/5=24/25. بتطبيق قانون جتا(2س)=1-2جا²(س)=1-(2ײ(3/5))=0. 28. بتطبيق قانون ظا(2س)=2ظا(س)/(1-ظا²(س))=2×(3/4)/(1-²(3/4))=24/7. المثال الثاني: جد قيمة جا(2س) إذا كانت قيمة جتا(س)=4/5، والزاوية س في الربع الأول.